回想一下：你之前已经会求 x² 的导数（2x）、x³ 的导数（3x²）……但这些只有一个零件。

现在遇到这样一台复杂的机器：f(x) = 2x² + x + 3——三部分加起来。怎么办？

答案是：把它拆开。一台机器 = 若干小机器拼在一起。如果能分别求每个小机器的导数，再把结果加回去——大机器的导数就出来了。

这就像做一道菜：你不需要"一口气做完"，而是先把每个食材处理好，然后合在一起。数学也是这样！

上面拆解区让你看清楚每一步：拖动 a、b、c 滑块，观察每个零件的导数如何合成最终结果。

先用具体数字走一遍，再讲抽象符号。

例子：f(x) = 2x² + x + 3，在 x = 2 处求导数

① 拆零件：f(x) = 2x² + x + 3 可以拆成三个零件：

f₁(x) = 2x²    f₂(x) = x    f₃(x) = 3

② 分别算每个零件在 x=2 的导数：

f₁'(x) = (2x²)' = 2·(x²)' = 2·2x = 4x，所以 f₁'(2) = 4×2 = 8

f₂'(x) = (x)' = 1，所以 f₂'(2) = 1

f₃'(x) = (3)' = 0（常数不变），所以 f₃'(2) = 0

③ 用和法则——把三个零件的导数加回去：

f'(2) = f₁'(2) + f₂'(2) + f₃'(2) = 8 + 1 + 0 = 9

④ 验证：先求出 f'(x) = 4x + 1，再代入 x=2：

f'(2) = 4×2 + 1 = 9 ✓ 对上了！

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现在用抽象符号再看一遍。对于 M(x) = f(x) + g(x)：

[M(x+tiny) - M(x)] / tiny
= [f(x+tiny)+g(x+tiny) - f(x)-g(x)] / tiny
= [f(x+tiny)-f(x)]/tiny + [g(x+tiny)-g(x)]/tiny

关键一步：把分子里的 f 和 g 分开！一个分数拆成两个分数，一个变成 f'(x)，一个变成 g'(x)。

所以：(f+g)' = f' + g'——和的导数 = 导数的和。这就是和法则。刚才的数字走算，就是这条法则的活例子。

还有一个问题：2x² 里的 2 怎么处理？

设 m(x) = #·f(x)，其中 # 是常数。回到定义：

[m(x+tiny)-m(x)] / tiny
= [#·f(x+tiny) - #·f(x)] / tiny
= # · [f(x+tiny)-f(x)] / tiny

把 # 提到分数外面！当 tiny → 0：

(#f)' = # · f'——常数倍法则：常数可以拎到导数外面。

举例：m(x)=2x²。m'(x) = 2·(x²)' = 2·2x = 4x。常数 2 只是倍数，不改变"斜率的方向"，只改变"斜率的大小"。

把和法则 + 常数倍法则合在一起，任何 plus-times 机器（教科书叫"多项式"）的导数都能算！

你的总收入 = 基本工资 + 加班费 + 奖金。

总收入的变化速度 = 基本工资的变化速度 + 加班费的变化速度 + 奖金的变化速度。

如果基本工资涨得快（导数大），总收入涨得也快；加班费涨得快，总收入涨得也快。每部分的变化独立贡献，互不干扰。

这就是加法的导数 = 导数的加法——因为增加是"并列的"，不是"嵌套的"。你在计算时完全可以把它们拆成独立的几笔账。

后面的章节，你会遇到"乘法的导数"（两个变化缠绕在一起）——那就不是简单相加了。但至少现在你知道：加在一起的，导数也加在一起。