我们知道 A(r) = #·r²，其中 # 是某个固定数字。
大圆半径 = r + t，面积 = A(r+t) = #·(r+t)²
薄圆环面积 = 大圆 − 小圆：
展开 (r+t)²（零跳步）：
代回去，r² 被抵消：
把圆环展开，就像把纸条剪开拉直。
当 t 非常非常小的时候，弯曲几乎看不见：
这个长方形的：
长方形面积 = 长 × 宽：
（注意：同一个 # 同时出现在面积和周长里！）
左边算出来的圆环面积，和右边算出来的，必须是同一个数：
两边同时除以 t（t ≠ 0）：
让 t 无限趋近于 0（把圆环做得无限薄）：
这没有告诉我们 # 是多少，但它证明了：同一个 # 必须同时满足面积公式和周长公式。
方法一：把实心金块称重，再把中间挖掉的圆柱金块称重，两者相减 = 戒指重量。
方法二：把戒指剪断，拉成一根直的金条，量长度 × 截面面积 = 戒指重量。
两种方法称的是同一个戒指，所以结果必须一样。
同理，两种方法算的是同一个圆环，所以 #·(2rt + t²) 必须等于 #·2r·t。
这不是我们"假设"的，是几何自己逼出来的。
Step 1：我们不知道圆的面积公式里的常数是多少，但我们可以写一个放弃数字 #：A = #·r²。我们虽然不知道 #，但知道面积和 r² 成正比。
Step 2：画两个同心圆，中间夹一个薄圆环。这个圆环的面积可以用两种完全不同的方法来算。
Step 3：第一种方法：用面积公式直接减。Adonut = #·(r+t)² − #·r²。展开 (r+t)² = r² + 2rt + t²，r² 抵消，得到 #·(2rt + t²)。
Step 4：第二种方法：用无限放大镜。把圆环放大到无限近，弯曲消失，它看起来就是一个长方形。长 = 绕内圈一圈 = #·2r，宽 = t，面积 = #·2r·t。
Step 5：两种方式算的是同一个圆环，所以必须相等：#·(2rt + t²) = #·2r·t。两边除以 t，再让 t→0，得到 #·2r = #·2r ✓。
Step 6：结论：同一个 # 同时出现在面积公式 A = #·r² 和周长公式 C = #·2r = #·d 中。这不是巧合，是必然真理！
你很少在教科书里听到的东西（却是最重要的）：