这一章，我们完成了微积分的第二次大统一。Ch2发明了导数（陡度），Ch4发明了积分（面积）——它们看起来是完全不同的东西，但在这一章，我们发现它们其实是同一枚硬币的两面。
⚡ 微积分基本锤子
导数和积分是互逆运算！求面积不用一条条加细矩形——只要找到反导数，做个减法就够了。
① 发明符号
∫ — 拉长的 S，表示"加起来"
我们把曲线下面积想象成无穷多无限薄矩形的和，每个矩形面积是 m(x)dx。给这个"不知道怎么算"的东西起个名字：∫ₐᵇ m(x)dx。名字本身不告诉我们答案，但它让我们能开始思考。
② 发现锤子
基本锤子——导数和积分互逆
关键洞察：∫ₐᵇ dM = M(b) - M(a)。因为 dM = M'(x)dx，所以 ∫ₐᵇ M'(x)dx = M(b) - M(a)。求面积 = 找反导数再相减。这就是微积分基本定理。
③ 实地测试
在简单机器上验证
常数机器（矩形）、直线机器（三角形）、自乘机器（抛物线）——用几何算出的面积和基本锤子给出的结果完全一致。而且发现：反导数不唯一，M(x)+# 也是反导数，但相减时常数抵消，不影响结果。
④ 锻造反锤子
三个积分技巧
Ch2-3的三个求导锤子都有对应的积分反锤子——把锤子等式两边积分，再用基本锤子化简左边即可。
⑤ 双向互逆
导数和积分，不管顺序都互逆
基本锤子的第二种写法：先积分（从a到x）再求导，回到原函数。不管谁先谁后，两个操作互相抵消。这就是为什么说导数和积分是"互逆运算"。
⑥ 第三朵云
曲线长度——还是老办法！
求长度？放大！曲线在无限小的视野里是直线，用勾股定理算出 dl = √(dx²+dm²)，变形后塞进积分模具：dl = √(1+[m'(x)]²)dx。又是积分！
🔮 下一章预告：Interlude 6 · 斩杀 #
从Ch1开始，我们一直用 # 来称呼那个"圆的周长除以直径"的数，因为我们不知道它的具体值。Ch4 我们知道它是圆的面积÷半径²，但这只是换了个说法。现在我们有了微积分这个强大武器——是时候算出 # = π ≈ 3.14159... 的真实值了！我们还将结识 V（正弦）和 H（余弦）这两台新机器。