BMC-Vis · Int 6 斩杀#

从Ch1开始，我们一直用 # 来称呼"圆的周长÷直径"那个神秘数字。我们知道它大约是3，但不知道精确值。现在我们有了微积分这个武器——是时候斩杀#了！我们将用三种武器围攻它：基本锤子、反锤子和怀旧装置。

⭕ 几何战场

单位圆（半径=1）在第一象限的面积是 #/4。而圆的方程 x²+y²=1 告诉我们：上半圆 y = √(1-x²)。
所以 #/4 = ∫₀¹ √(1-x²)dx。这看起来还是有根号……

🗡️ 秘密武器T

回忆Ch4的T = V/H（正切），T'(x) = 1+T²！它的反机器⊥满足⊥(1)=#/4，且⊥'(x)=1/(1+x²)。用基本锤子：# = 4∫₀¹ 1/(1+x²)dx。没有根号了！

级数项数 N 1

π ≈ 4 × (级数部分和)

4.00000

真实值：π = 3.141592653589793...

⚔️ 斩杀全过程

第1招：找到T机器（正切）的反机器⊥（反正切），⊥'(x) = 1/(1+x²)，且⊥(1) = #/4

第2招：用基本锤子：∫₀¹ ⊥'(x)dx = ⊥(1) - ⊥(0) = #/4 - 0 = #/4

第4招：对m(s)=1/(1+s)用怀旧装置：求各阶导数在0处的值，得到 m(s) = 1 - s + s² - s³ + s⁴ - ...

第5招：令 s = x² 代入：1/(1+x²) = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + x⁸ - ...

第6招：用加法反锤子逐项积分：∫₀¹ 1/(1+x²)dx = [x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...]₀¹ = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

🎁 战利品：V和H的导数

V的导数（正弦）

V'(x) = H(x)，sin'(x) = cos(x)

H的导数（余弦）

H'(x) = -V(x)，cos'(x) = -sin(x)

Step 1 · 核心洞察

π不是凭空来的

π不是老师告诉你的神秘常数，它可以被微积分"算"出来。我们已经有了所有需要的武器。

Step 2 · 几何解释

T机器帮我们避开根号

直接从圆面积出发得到带根号的积分（很难算），但用T=V/H（正切）的反机器，导数变成了干净的1/(1+x²)。

Step 3 · 公式推导

怀旧装置+反锤子=胜利

把1/(1+x²)展开成无穷级数（1 - x² + x⁴ - x⁶ + ...），然后逐项积分。这就是莱布尼茨π公式。

Step 4 · 生活类比

织布

直接量一个圆的面积很难，就像直接织一块圆形布料。但如果你知道布的纹理规律（级数展开），就可以一条线一条线地织，最后得到完整的圆形。加的线越多，形状越精确。