2026高考数学全国一卷 第17题 — 投篮停止规则

概率不是公式，是"这事发生的可能性有多大" ← 首页
从定义出发 · 不套公式

原题

设整数 $N\ge 2$。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 $1$ 次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p\;(0

(1) 当 $N=4$ 时，求 $X$ 的分布列；
(2) 设 $k,m$ 均为自然数。
 (i) 当 $k\le N-1$ 时，求 $P(X>k)$；
 (ii) 当 $k+m\le N-1$ 时，证明：$P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)$。
第〇步：先看懂"停止规则"是什么
人话
规则只有两条：中了就停，或投满N次都没中也停。
所以 $X$ = 停止时的投篮次数，它可以是 $1,2,3,\dots,N$ 中的任何一个。

第〇步不出手，先想清楚：

  • 如果第一次投中了 → $X=1$（投篮1次就停）
  • 如果第一次没中、第二次中了 → $X=2$
  • 如果前 $N-1$ 次都没中、第 $N$ 次中了 → $X=N$
  • 如果 $N$ 次全不中 → 也是 $X=N$

所以 $X$ 的本质：它是"第一次投中发生在第几次"——但如果 $N$ 次都不中，就取 $N$。

这就是第〇步的价值：我们没有套任何"几何分布"的公式，只是用中文把规则翻译了一遍。现在我们知道 $X$ 是啥了，下一步才是计算概率。

(1) $N=4$ 时 $X$ 的分布列

第一步：从定义出发，逐条算概率
不背"几何分布"公式，每次独立事件概率相乘

第〇步（再确认一次）：题目问的是 $X$ 的分布列——即 $P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)$ 分别是多少。

情景 1：$X=1$（第一球就中）

$P(X=1)=$ 第一次投中的概率 $\boldsymbol{=p}$

情景 2：$X=2$（第一球不中，第二球中）

$P(X=2)=$ (第一球不中) $\times$ (第二球中) $\boldsymbol{=(1-p)\cdot p}$

情景 3：$X=3$（前两球不中，第三球中）

$P(X=3)=$ (一不中) $\times$ (二不中) $\times$ (三中) $\boldsymbol{=(1-p)^2\cdot p}$

情景 4：$X=4$（注意有两种可能）

要么第四球中了（前三球不中）：$(1-p)^3\cdot p$
要么四球全不中：$(1-p)^4$
$\displaystyle P(X=4)=(1-p)^3\cdot p+(1-p)^4=(1-p)^3$

检验：所有概率加起来 = 1

$p + (1-p)p + (1-p)^2p + (1-p)^3 = 1$ ✓
关键洞察：我们没背任何公式。我们只用了两件事：① 独立事件概率相乘；② 加法（两种不同方式都能得到 $X=4$）。这就是作者说的：公式是你理解之后才能缩写的东西，不是你不理解就往里套的东西。
$P(X=t)$ — 各投篮次数的概率
$P(X>t)$ — 前t球全不中的概率
$P(X=4)$ 包含"第四球中"和"全不中"两种可能

(2)(i) $P(X>k)$ — 当 $k\le N-1$ 时

第〇步：$X>k$ 用中文怎么说？
翻译
$X>k$ = 停止时的投篮次数超过了 $k$ 次 = 前 $k$ 球全都没中
（因为如果前 $k$ 球中有一球中了，那 $X$ 已经 $\le k$，不会 $>k$）

下面算概率：

前 $k$ 球全没中，每次不中的概率是 $1-p$，各次独立：

$\boxed{P(X>k)=(1-p)^k}$

就这么简单。不需要任何分布公式——就是 $k$ 个独立事件概率相乘。

注意范围：题目说 $k\le N-1$。为什么？因为 $k\le N-1$ 时 $X>k$ 是可能的（$X$ 可以等于 $N$）。但如果 $k=N$，$X>N$ 不可能（因为最多投 $N$ 次），所以 $P(X>N)=0$。

(2)(ii) 证明 $P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)$

验证：当前参数下的数值

拖上面的滑块，下面第③格和第④格是否始终相等？

$P(X>k)$
-
$P(X>k+m)$
-
$P(X>k+m\mid X>k)$
-
$P(X>m)$
-
相等？
-
第〇步：条件概率 $P(A\mid B)$ 是什么？
"已知 B 已经发生了，A 发生的概率有多大"

$P(X>k+m\mid X>k)$ 用中文说：

翻译
"已知前 $k$ 球都没中，那么再投 $m$ 球（一共 $k+m$ 球）也全不中的概率是多少？"

第一步：用条件概率定义展开

$\displaystyle P(X>k+m\mid X>k)=\frac{P(X>k+m\ \text{且}\ X>k)}{P(X>k)}$

$X>k+m$ 暗含了 $X>k$（因为 $k+m>k$），所以分子就是 $P(X>k+m)$：

$\displaystyle P(X>k+m\mid X>k)=\frac{P(X>k+m)}{P(X>k)}$

第二步：代入上一步的结果

由 (i)：$P(X>k+m)=(1-p)^{k+m}$，$P(X>k)=(1-p)^k$：

$\displaystyle \frac{P(X>k+m)}{P(X>k)}=\frac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k}=(1-p)^m=P(X>m)$

第三步：证毕

$\boxed{P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)}$

这说明了什么？

这就是"无记忆性"
每次投篮独立，前面的结果不影响后面的概率。"已经投丢了 $k$ 球"这件事，不会改变"再投 $m$ 球都不中"的概率。
就像抛硬币：前 10 次都是正面，下一次是正面的概率还是 1/2。硬币没有记忆，投篮也没有记忆。
回头看：整个证明只有两行。没有背任何分布公式，没有复杂代数。第〇步把条件概率翻译成人话，剩下的事就是代入。这就是作者的方法——先理解"这个东西到底在说什么"，再动手。花 1 分钟想清楚中文意思，省下 10 分钟绕弯路。

四步总结

核心洞察
概率 = 用"独立相乘"推出来的
$P(X=t)$ 就是一个"前 $t-1$ 次不中，第 $t$ 次中"的乘积。$P(X>k)$ 就是"前 $k$ 次全不中"的乘积。没有几何分布，没有公式——只有独立事件概率相乘。
核心策略
先翻译成人话，再动手算
$P(X>k+m\mid X>k)$ = "已知前 $k$ 球没中，再 $m$ 球也不中" = $(1-p)^m = P(X>m)$。一旦理解了中文意思，证明就不需要思考了。
无记忆性
投篮没有记忆
已经投丢了 $k$ 球，不改变"再投 $m$ 球都不中"的概率。这就是"无记忆性"——不是因为它是一个"定理"，而是因为每次投篮独立，过去不影响未来。
通用方法
条件概率 = 缩小样本空间
$P(A\mid B)$ 不是抽象公式——它是"在 $B$ 已经发生的前提下，看 $A$ 占 $B$ 的比例"。每次都从定义 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ 出发，不跳步。