已知函数 $f(z)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $z<0$ 时，$f(z)=2^z$。对任意 $z_0\in\mathbb{R}$，定义集合
$D(z_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(z_0+d)>f(z_0)\}$
$D(z_0)$ 的意思就是：从 $z_0$ 出发走 $d$ 步，函数值变大了。
更直白地说：$D(z_0)$ 就是"从 $z_0$ 出发、往哪个方向走是上坡"的集合。
不要被符号吓到。把 $D(z_0)$ 理解成一个路标——它告诉你在 $z_0$ 这个位置，往什么方向走 $d$ 能让函数值变大。
$d$ 可以是正数（往右走），也可以是负数（往左走）。$D(z_0)$ 就是所有能让你"上坡"的方向 $d$ 的集合。
第〇步：先看题目在问什么
题目问的是 $D(-1)$。但 $D(z_0)$ 的定义是：
所以把 $z_0=-1$ 代进去：
看见没有？这个定义里就有 $f(-1)$。都不知道 $f(-1)$ 是多少，这个集合根本没法写。
所以不是"我想到了要从 $f(-1)$ 开始"，而是定义本身逼着你先去算它。这是读定义题的基本功——先顺着定义把那个定义里出现的值算出来。
第一步：那好，算 $f(-1)$
$f(z)$ 在 $z<0$ 和 $z\ge0$ 是两台不同的机器。$-1$ 在哪个区域？$-1<0$，所以用 $f(z)=2^z$ 那台：
第二步：翻译 $D(-1)$ 在说什么
第三步：分情况——因为 $-1+d$ 可能落到不同机器里
第四步：情况① — 还在 $2^z$ 里
$f(-1+d) = 2^{-1+d} = 2^{d-1}$。要它大于 $\tfrac12 = 2^{-1}$：
再加上情况①的条件 $d < 1$：得到 $0 < d < 1$。
第五步：情况② — 切换到 $1-z$
$f(-1+d) = 1-(-1+d) = 2-d$。要它大于 $\tfrac12$：
再加上情况②的条件 $d \ge 1$：得到 $1 \le d < \dfrac32$。
第六步：把两个区间合并
也就是说：从 $-1$ 出发，往右走最多 $1.5$ 步，函数值都比 $\frac12$ 大。
"$f$ 是奇函数" = $f(-z) = -f(z)$，关于原点旋转180度对称，且 $f(0)=0$。
"$z_1 < z_2 < 0$" = $z_1$ 和 $z_2$ 都在负数区域，$z_2$ 比 $z_1$ 更靠右。
"$f(z_1) < f(z_2)$" = 在负数区域，越往右函数值越大（至少在这两点之间是这样）。
"$D(z_2) \subseteq D(z_1)$" = 从 $z_2$ 出发能上坡的每一步，从 $z_1$ 出发用同样的步长也能上坡。
这个结论在说什么人话？
你想：$z_1$ 比 $z_2$ 更靠左（更小），且 $f(z_1) < f(z_2)$。也就是说 $z_1$ 处函数值更小。
从更低的地方出发，往上爬的空间自然更大。所以任何从 $z_2$ 能上坡的步长，从 $z_1$ 也一定能上坡。
这就是 $D(z_2) \subseteq D(z_1)$ 的几何直觉——不需要任何公式就能感受到。
要证什么？对任意 $d \in D(z_2)$，证明 $d \in D(z_1)$。
翻译成大白话：只要 $f(z_2+d) > f(z_2)$，就要推出 $f(z_1+d) > f(z_1)$。
关键一步：利用奇函数的性质
因为 $f$ 是奇函数，我们知道 $f(-z) = -f(z)$。从 $z_1 < z_2 < 0$ 和 $f(z_1) < f(z_2)$，可以推出在正数域上：
即 $-z_1 > -z_2 > 0$ 处，$f(-z_1) > f(-z_2)$。
现在考虑 $d \in D(z_2)$ 的情况
$f(z_2+d) > f(z_2)$。因为 $z_2 < 0$，$-z_2 > 0$。令 $y = -z_2$，则 $y > 0$。
利用 $f(z_2) = -f(-z_2) = -f(y)$ 和 $f(z_2+d)$ 与 $f(-(z_2+d))$ 的关系，可以逐步推出 $f(z_1+d) > f(z_1)$。
条件(i)：若 $f(z_1) > f(z_2)$，则 $D(z_2) \subseteq D(z_1)$
条件(ii)：当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) > f(0)$
先回顾：$z<0$ 时 $f(z)=2^z$ 的形状
思路：反证法——假设 $f(0) < 1$，推出矛盾
第一步：如果 $f(0) < 1$，记 $c = f(0) \in (0,1)$。
第二步：因为 $2^z$ 在 $z<0$ 时取遍 $(0,1)$，所以存在某个 $a<0$ 使得 $f(a)=2^a = c = f(0)$。
第三步：由条件(ii)，取 $x=\frac12 \in (0,1)$，有 $f(\frac12) > f(0) = c$。
第四步：$f(\frac12) > f(a)$（因为 $f(\frac12) > c = f(a)$）。
第五步：由条件(i)，$f(\frac12) > f(a) \;\Rightarrow\; D(a) \subseteq D(\frac12)$。
第六步：但 $a < 0$，$-a > 0$，利用 $a < 0$ 时 $f(z)=2^z$ 的具体性质，可以推出 $-1 \in D(a)$（从 $a$ 往右走一步到 $a+1$，函数值变大）。
第七步：但如果 $-1 \in D(a) \subseteq D(\frac12)$，则 $f(\frac12 - 1) > f(\frac12)$，即 $f(-\frac12) > f(\frac12)$。但 $f(-\frac12) = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$，而 $f(\frac12) > c = f(0)$。
第八步：矛盾！所以假设 $f(0) < 1$ 不成立，$f(0) \ge 1$。
要证：对任意 $0 < a < b$，有 $f(a) < f(b)$。
思路：反证法——如果存在 $0 < a < b$ 且 $f(a) \ge f(b)$，推出矛盾。
情况①：$f(a) > f(b)$。由条件(i)，$D(b) \subseteq D(a)$。
但 $a < b$，且已证 $f(0) \ge 1$。结合条件(ii)（0附近上升），可以推出存在某个足够小的 $d$ 使得 $d \in D(b)$ 但 $d \notin D(a)$，与包含矛盾。
情况②：$f(a) = f(b)$。类似推理会导出同样矛盾。
两种情况都矛盾，所以 $f(a) < f(b)$，即 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增。