已知 f(x) 是二次函数，满足 f(x+1) - f(x) = 2x，且 f(0) = 1，求 f(x)。 用待定系数法、第一性原理、锤子理论三种思路逐步拆解。

已知抛物线 y = (3/a²)x(2a-x)，a>0。用锤子理论拆解中考压轴题——幂律锤子找顶点、对称性分析、整点计数比较。

已知抛物线 y = -x² + 2x + 1，平移 m 个单位后过 B'，求 ∠P'BB' 和面积 = 6√3 时 N 的坐标。
用 BMC 理念逐步骤可视化——低阶版画辅助线找 30-60-90° 三角形，高阶版用向量点积。每步配一张 Canvas 图，重点讲解"辅助线思路从哪来"。

定义 $D(z_0)=\{d\mid f(z_0+d)>f(z_0)\}$，求 $D(-1)$、证奇函数下 $D(z_2)\subseteq D(z_1)$、推 $f(0)\ge1$ 和单调性。
用 BMC 理念翻译抽象符号——"$D(z_0)$ 就是上坡方向"。每步配图，讲清"反证法思路怎么来的"。

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$F(-1,0)$，$e=1/2$。过 $F$ 的动直线与椭圆交于 $P$、$Q$，$R=OP$ 另一交点。
用 BMC 理念从定义出发推导椭圆——不背公式，用"到两焦点距离之和为常数"直接算 $a$、$b$。交互式滑块探索面积比和 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

已知 $|ec a|=|ec b|=1$、$ec a$ 与 $ec b$ 夹角 $60^\circ$，定义面积函数 $S(\lambda,\mu)=|ec a imesec b|$，且 $ec c=\lambdaec a+\muec b$ 满足 $|ec c|=1$。(1) 直接代入算 $S$；(2) 证明规律；(3) 升级版求 $S$ 最大值。
用 BMC 理念从向量定义出发，把抽象"面积函数"翻译成平行四边形面积直觉，在约束 $\lambda^2+\mu^2=1$ 下用对称性求最值。

椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，直线 $y=kx$ 交椭圆于 $A,B$，右焦点 $F$ 满足 $|AF|=2|BF|$，求 $k$。
用 BMC 理念从对称性出发——A、B 关于原点对称把「两个动点」塌成「一个点」，距离定义写坐标等式、平方消根号、椭圆约束消元，最后用横坐标范围 $[-3,3]$ 剔除增根。配 Canvas 画板展示椭圆、焦点与直线。